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建模的钟摆是太难了,比你想象

一个基本的钟摆是大量在结束了一个字符串,它会自己来回摆动。它看似简单,和它出现在大多数物理导论教科书。但它不是一个微不足道的问题,要解决这一大堆在字符串上的运动。

传统上,介绍性观点是振荡的钟摆的表明,对于小振幅质运动是振荡的钟摆的简谐运动 (弹簧上质的运动) 像取决于长度的字符串和局部重力场一段时间。

建模的钟摆是太难了,比你想象

这里是一个额外的有趣的事实。摆长度为 1 米,有一段约 2 秒 (所以它需要大约 1 秒钟穿过电弧摆动)。这意味着,引力场 (g) 与 Pi 之间的关系。但是真的,它是相当难引导学生通过期间此表达式的推导 (至少它是困难为物理导论的学生)。它是仍然很有用,看看摆在物理实验室里,因为你可以很容易测量的时间和长度,看看是否他们确实适合上述表达式。

真正的问题是在字符串中的张紧力的性质。模型运动的物体 (如质量对字符串的末尾),您需要找到该对象的所有力量。这些部队分为两种类型︰

  • 确定性的部队。这些都是的力量,我可以得到一个向量值基于质量、 位置或对象或对对象的速度。这里有一些例子︰ 的弹簧力,引力,空气阻力,静电力。
  • 力量的约束。这些都是部队,不具有一个显式表达式,但相反有大小和方向来约束对象以某种方式的议案。两个例子︰ 绳子和法向力的紧张。

如果你想要模型与确定性部队的运动,它是物体的相当简单的。只需使用下面的食谱。分解成小的时间步骤的议案。在每个时间步︰

  • 计算 (这是部分在那里很容易,如果你有确定性部队) 的净力。
  • 使用的净力来计算对象的动量的变化。
  • 使用这一势头来计算对象的新位置。
  • 更新时间。

但这不能与钟摆。钟摆的字符串里的紧张气氛显然是约束的力。当然,这张紧力的方向是在同一个方向作为字符串,但无论它需要以质量保持相同的距离,从枢轴点的值的大小变化。这意味着为了使钟摆的数值模型,您需要使用的伎俩。

有三种不同的方式,您可以建立模型摆的运动。我看过这些方法之前,,所以让我只是给短的审查。请注意,这篇文章的标题是”第三条道路”。在这种情况下,我期待着两种不同方法得到的微分方程 — — 但现在我要让那些相同的方法。

方法 1︰ 得到微分方程

如果你假设质量局限在一个圆形的路径移动,然后你可以减少这一维问题与单摆的摆角作为唯一的变量。更改此角位置的唯一力量是重力作用的角组件。与 θ 的字符串作为测量从纵向的角度,我可以得到下面的表达式︰

建模的钟摆是太难了,比你想象

有是一个简单的解决方案,这个微分方程通过假设小振幅 (和很小的角度)。在这种情况下,sin(θ) 是约等于 θ 和你有相同的表达式获取简谐运动。

方法 2︰ 欺骗和张力

单摆运动的问题是紧张是一种约束力量。好吧,如果我们让它确定性的力量?如果字符串被替换为一个非常硬弹簧,它应该是一个更容易的问题。

建模的钟摆是太难了,比你想象

此方法可以较好工作。这里是显示两种方法,1 和 2 的角位置的数值模型。

只需单击”播放”按钮以运行此。如果您想要更改的一些代码 (和你大概应该),还有注释指示哪些东西你就可以改变。别担心,你不会破坏任何东西。只需单击”铅笔”图标,切换到要编辑的代码模式。

真的,你应该玩玩质量、 弹簧常数 (k) 的值和时间步 (dt) 来看这种模式如何很好同意微分方程。提示,试着看看这两种模型,看看哪一个更善于节约能源。是的你可以考虑,如果你喜欢家庭作业。

方法 3︰ 计算张紧力

我可以使用通常的数值模型方法,如果我能找到在每个时间步时张力的表达式。让我们看看部队的质量在挥杆。

建模的钟摆是太难了,比你想象

我已经知道这张紧力的方向 — — 它必须要在同一个方向作为字符串 (因为字符串只拉)。但是大小呢?假设这一大堆,处于一些角度 θ,移动速度为 v 级。在这种情况下,我可以添加的字符串 (我将称此研发方向) 方向的力量。

建模的钟摆是太难了,比你想象

在 r 方向的净力,我知道这还必须等于乘以 r 方向加速度的物体的质量。因为该对象正朝着速度 v 与 L 半径的圆,它将向 (在紧张的方向) 圆的中心有向心加速度。

建模的钟摆是太难了,比你想象

现在的大小和方向的拉力 (基于角度和速度) 的表达式。有了这个,我只是可以将行添加到我的数值计算循环和确定张力的向量值。添加后这对重力,我可以用动量原理 — — 这应该工作。

这里是此方法作为数值计算。我再次列入解微分方程的解法 (比较)。

再次,单击播放按钮开始。此外,你应玩弄代码。

但是,真的,有谁在意呢?

为什么任何人都需要这三种方法用于摆的运动?真的,它是所有关于物理导论课程。虽然对单摆运动真正的解决方案是复杂的它仍然是实验室的伟大实验。它是单摆的很容易衡量振动周期,更改字符串长度或振幅之类的学生。

与这三种方法,学生也可以创建使用一种方法类似于在弹簧上计算质运动运动的数值模型。更好的是,他们可以轻松地更改钟摆的起始角度并查看期间确实取决于振幅,尤其是随着角度变大。

家庭作业

现在的一些家庭作业的问题。

  • 作为时间函数的所有三种方法包括总能量图。能量守恒,是吗?
  • 在什么起始角度摆不同意简谐运动模型?
  • 运行为更长的时间比只需 10 秒的钟摆模型 (容易在上面的代码中更改)。您可能会发现在字符串上的大众开始胡作非为以特定的方式。看看是否你可以解决此问题。
  • 如果你想要包括到这个模型的空气阻力吗?哦,去吧,这样做。你可以选择你喜欢的任何一种方法。
  • 如果您更改任何这些方法的计算顺序,会发生什么?做你变得更好或更糟糕的结果吗?

[剑客-翻译]

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