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小朋友的涂鸦(四):一个规划的大纲

一个规划的大纲

小朋友的涂鸦(四):一个规划的大纲

亚历山大·格罗滕迪克,图片来自上沃尔法赫数学研究所(Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach)

“由于目前在大学里教学和研究方面的结合于我而言愈发虚无飘渺,我决定申请加入CNRS,为的是能够将我的精力奉献于发展某些工作和视点,因为现在来看,明显以后找不到会代替我发展它们的学生(似乎连同行的数学家也没有)。”

(Comme la conjoncture actuelle rend de plus en plus illusoire pour moi les perspectives d’un enseignement de recherche à l’Université, je me suis résolu à demander mon admission au CNRS, pour pouvoir consacrer mon énergie à développer des travaux et perspectives dont il devient clair qu’il ne se trouvera aucun élève (ni même, semble-t-il, aucun congénère mathématicien) pour les développer à ma place.)

亚历山大·格罗滕迪克在蒙彼利埃写下这几行文字的时候,正是1984年的某一天,他已经57岁了,经历了太多太多。70年代与嬉皮士为伍,与体制和战争展开激烈但劳而无功的抗争;60年代在法国高等研究所日夜奋战,马不停蹄用深刻的洞察力重塑代数几何,引领法国最尖端的数学人才解决那些最难的问题;50年代投入法国数学界温暖的怀抱,凭借高度抽象的思维崭露头角;还有颠沛流离的童年和青年时期。所有这些都已经过去了,现在他回到了他作为数学家的起点——蒙彼利埃大学——当一名教授,但他也开始厌倦教学了。

他有千言万语要说,但他也很清楚,现在面前的这几页纸,并不适合回忆。旁边厚厚的《收获与播种》( Récoltes et Semailles )的书稿,才是这些反思的去处。他现在要写的,是对今后科研的计划,直白地说,就是一份求职文件,申请的是CNRS的研究员职位,这可以让他免去教学的义务,专心于他的数学研究。他获得过菲尔兹奖,拒绝过克拉福德奖,这些数学界的最高荣誉,对他来说微不足道,他只要继续他的探索。

他并不喜欢体制。纳粹将他的童年破坏得支离破碎,这也许是他反体制反战争思想的来源。正是因为当年法国高等研究所接受了几笔来自军方的资助,他才愤而离开那个数学的乐园,转身投入轰轰烈烈的社会活动。现在又要回到体制,他心里大概也有些挣扎。但他决定了,即使回到体制,也要坚决拒绝腐蚀,绝对不履行那些违反良心的所谓“义务”。

但对数学真理的好奇和渴求大概根植于他心灵的更深处。当年同样的渴求让他出发重新构建了代数几何——那可是一整个数学分支——沿途还得到了无数深刻的结果。现在,他看到了一片肥沃的处女地,但却没人愿意跟他一起耕耘。他大概有些不适应。在法国高等研究所的日子里,他可是领军人物,多少人为听他一席话专程赶到巴黎郊外的Bures-sur-Yvette,那可是一段连现在的轻轨也要花上半小时以上的小旅行。他不知道,70年代他那些鲁莽的抗争,在一定程度上损害了他的声誉。既然没有人来做,那就只能自己来了,他大概是这样想的。

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法国高等研究所,图片来自Wikipedia

Teichmüller层级(tour de Teichmüller)、绝对伽罗华群

的作用、有限域上的正则多面体、驯顺拓扑(topologie modérée)……他笔下倾泻出近年他关心的数学领域和数学对象,这一写就是48页,还没算上注记。

所有这些想法,其实已经被他写在了另一份文件上,那就是《穿越伽罗华理论的长征》( La Longue Marche à Travers la Théorie de Galois )。但这份完成于1981年,长达1300页的手稿,仅仅为了他自己一个人而写,即使向别人展示,大概也没多少人会有耐心读下去吧。1300页也许很长,但对于一直艰苦工作的格罗滕迪克来说,并不算什么。在他的黄金岁月里,有时候为了节省时间,他仅仅以香蕉和牛奶度日,终日除了休息就是研究代数几何,但这并不影响他思维的敏锐以及清晰的文笔。然而,对于求职文件而言,直接从《穿越伽罗华理论的长征》引述的话,显然不太合适。他面对的评审委员会不可能对他研究的细枝末节都了如指掌,他需要从基础说起,简洁地铺陈出他的想法。

这份求职文件,就是《一个规划的大纲》( Esquisse d’un programme )。也许数学史上再也没有别的求职文件像它那样充满真知灼见了。它很长一段时间没有被正式发表,只在数学圈子里私下流传,但它对数学的影响大概比大部分正式发表的数学论文要更大。它开创了代数几何的一个新领域,这个领域叫远阿贝尔几何(anabelian geometry)。对的,就是望月新一研究的那个远阿贝尔几何。

而对他建立这一套体系起了关键推动作用的,就是二部地图和别雷定理。所有二部地图都能给出一条对应的光滑代数曲线,但这样能否得到所有的光滑代数曲线呢?

“这样的假设当时似乎很离谱,我甚至不敢向这方面的行家询问这个问题。我问过德利涅,他也觉得确实很离谱,但手头上没有反例。不到一年之后,在赫辛斯基的国际数学家大会上,苏联数学家别雷就宣布了这个结果,他的证明简洁得不合常理,在德利涅的信里只占了两页——也许从来没有过如此深刻而奇妙的结果能用那么少的行数来证明!”

(Une telle supposition avait l’air à tel point dingue que j’étais presque gêne de la soumettre aux competences en la matière. Deligne consulté trouvait la supposition dingue en effet, mais sans
avoir un contre-exemple dans ses manches. Moins d’un an après, au Congrès International de Helsinki, le mathematicien sovietique Bielyi annonce justement ce résultat, avec une demonstration d’une simplicite deconcertante tenant en deux petites pages d’une lettre de Deligne – jamais sans doute un résultat profond et déroutant ne fut demontre en si peu de lignes!)

值得一提的是,德利涅(Deligne)是格罗滕迪克的学生,同样是菲尔兹奖获得者。在格罗滕迪克离群索居的岁月里,德利涅几乎是他获取数学新进展的唯一来源。可以看出,别雷定理给格罗滕迪克带来了多大的震动!他把别雷定理对应的二部地图称为“儿童涂鸦”(dessin d’enfant),连小朋友都能随手画出的东西,竟然蕴含着这么丰富的数学内涵!这也为他打开了一道新想法的大门:也许通过研究像组合地图这样非常简单易懂的数学对象,就能探究代数几何这门艰深学科中更深层的结构。在《一个规划的大纲》中,他探讨的就是这个可能性。

在代数数论中,所谓的“有理数的绝对伽罗华群”

在研究中占据了重要的地位。不要被看似复杂的符号吓倒,这就是个代号而已。可以说,代数数论中的大部分研究最终都可以跟这个群扯上关系。我们知道[link],群描述的是对称性,而绝对伽罗华群
描述的则是所有代数数(也就是整系数方程的根)的对称性,它的每一个元素都是代数数集合的对称变换,惟独保持每个有理数不变。这样的对称变换又叫有理数的伽罗华变换。但到目前为止,我们仍无缘一睹这个群的全貌。对于那些“交换”(也就是满足ab=ba)的部分,我们已经理解得相当透彻,但这个群的精妙之处在于它“非交换”,也就是“非阿贝尔”的部分,而我们对此仍然所知甚少。对整个绝对伽罗华群
结构的研究,是代数数论以至代数几何的重要课题之一。格罗滕迪克的“远阿贝尔几何”,实际上就是尝试研究绝对伽罗华群
,甚至是任意域的绝对伽罗华群,又或者更广泛的“任意代数簇的平展基本群”(étale fundamental group of algebraic varieties),它们“远离阿贝尔”的部分到底如何影响相应的代数结构的几何性质。

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代数数,次数越低光点越大,来自Wikipedia,原作者Stephen J. Brooks

格罗滕迪克指出,绝对伽罗华群

可以作用在所有儿童涂鸦上,因为每个儿童涂鸦对应着一个光滑代数曲线,也就是一个系数是代数数的多项式,而绝对伽罗华群
作为代数数的对称群,当然可以通过对系数的对称变换间接作用在二部地图上。不仅如此,这个作用还是“忠实”的,也就是说,可以通过研究绝对伽罗华群
在所有儿童涂鸦上的作用来研究这个群本身。

在绝对伽罗华群

中最简单的不平凡变换就是复共轭,也就是将虚数单位
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换为
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的变换。根据高中的数学知识,在复平面上,复共轭就是沿实数轴的镜像对称,所以它作用在儿童涂鸦上,得到的也是儿童涂鸦的镜像对称。如果一个儿童涂鸦的镜像对称还是它自己,根据别雷定理,复共轭作用到相应的代数曲线上必定得到原来的代数曲线,也就是说所有系数都是实数。如果两个儿童涂鸦互为镜像对称,它们对应的代数曲线的系数必定互为共轭,也就是说起码有一些系数是虚数。这就是我们之前猜测的理论依据。

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共轭对称的两个例子,蒙A. Zvonkine惠允

但复共轭毕竟是最简单的变换,别的对称变换的结构更为复杂。光滑代数曲线(也就是儿童涂鸦)本身有着许多对称性,对于某种对称性,有没有办法得知它是否来自绝对伽罗华群

呢?如果能知道这一点,就相当于刻画了绝对伽罗华群
本身。但这是个极端困难的问题。格罗滕迪克当时有一些初步的想法,但这远远不够。如果仅仅依靠儿童涂鸦的组合性质,就能刻画绝对伽罗华群
的话,这将会震动代数几何学界:代数几何中深刻的结论,竟然可以从更简单基础的组合数学得出。

儿童涂鸦有着不少的组合不变量,它们在绝对伽罗华群

的变换下保持不变:顶点个数、顶点度数、面的个数、面的度数、等等。除了这些看似简单的不变量,我们还可以给每个儿童涂鸦赋予一个群,这个群被称为“儿童涂鸦的单值群”,有时也被直接称作“地图群”。这些地图群拥有更为复杂的结构,但同样在绝对伽罗华群
的变换下保持不变。格罗滕迪克的希望,就是在众多的组合不变量中能找到合适的组合,来刻画绝对伽罗华群

注:然而事不如人愿。实际上,单纯的组合不变量不足以做到这一点。A. Zvonkine举出了一个例子,说明要判断两个不同的儿童涂鸦能否通过绝对伽罗华群

的作用联系在一起,有时还需要考虑一些数论方面的性质。数学家正在研究这样的情况何时会出现,原因又是什么。

但这还只是故事的开端。格罗滕迪克考虑了所谓的Teichmüller层级(tour de Teichmüller),它的定义非常抽象,但绝对伽罗华群

同样可以作用于其上。这个Teichmüller层级由无穷个复杂的数学对象一层一层构成。格罗滕迪克认为,要研究有理数上的远阿贝尔几何,从Teichmüller层级入手可能是比较好的方法。他认为,Teichmüller层级所有更高的部分都可以由前两层组合而来,第一层提供的是元素,第二层提供的是元素之间的关系。而这前两层恰好对应着光滑代数曲线(也就是儿童涂鸦),第二层对应的则是在数论中有着广泛应用的椭圆曲线。这就给儿童涂鸦的研究提供了充足的动机。

读到这里的读者,大概都会有一种不明觉厉的感觉。这非常正常,笔者也花了相当的时间,向不同的人请教过,才勉强捉摸到格罗滕迪克整个远阿贝尔集合计划的轮廓。格罗滕迪克写作时,文笔优美思路清晰,这份《一个规划的大纲》也不例外。但他谈论的数学实在过于抽象,难以理解。但这就是格罗滕迪克做数学的风格:尽可能从数学对象中将不必要的细节抽象出来,抽象得一般的数学家都会以为剩下的只有“虚空”,然而他仍然能从“虚空”中抓住某些东西,从而建立他的理论,完成他的证明。用格罗滕迪克本人的说法,如果把数学问题比作坚果,大部分数学家做的就是用锤子和凿子把坚果凿开,而他的做法则是将坚果浸在水里,慢慢软化它的外壳,又或者让它经受风吹日晒,然后等待合适的时机,坚果自然就会裂开。

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当然坚果要放在合适的地方,否则……图片来自Wikipedia,作者Peter Trimming

对于大部分数学家来说,这个过程太漫长,也许只有拥有深刻洞察力的格罗滕迪克,才能在能接受的时间内,用这种方法解决问题。这也是他的数学难以被理解的原因之一:他几乎不考虑具体的示例,都是从尽可能抽象的角度出发,思考支配某个数学问题背后的宏大数学结构。有时候这也会闹出笑话。有一次讨论数学的时候,有人向格罗滕迪克提议考虑一个特定的质数作为例子。“你的意思是找一个真实的数字?”格罗滕迪克有点疑惑。对方点了点头。他回答:“好吧,我们考虑57这个质数。”57当然不是质数,但格罗滕迪克大概没有注意这一点,他从来不考虑具体的例子,一切从抽象出发。

现在,以同样的抽象风格,格罗滕迪克在《一个规划的大纲》中留下了远阿贝尔几何这一宏伟理论的框架,而儿童涂鸦在其中也占据了一席之地。他的计划,就是慢慢充实这一理论的血肉。

可惜他没有等到理论完善的那一天。

失之东隅

即使他的这份研究计划充满洞见,格罗滕迪克向CNRS递交的职位申请可是让CNRS的管理者伤透了脑筋。在职位申请的档案中,他特地写了一封信,列出了如果被CNRS雇用,他将会拒绝执行的一些CNRS雇员的义务。他的数学能力无可置疑,在60年代就职法国高等研究院之前他也曾经是CNRS的研究员(maître de recherche),但大概没有政府组织会乐意接受像他这样反体制的刺儿头。最后,在许多数学家同行的斡旋下,CNRS以一种特殊的形式“雇用”了格罗滕迪克:他仍然保留在大学的职位,但由CNRS负责他的薪水。于是,他名义上还是大学教授,但因为薪水来自CNRS,他不需要承担任何的教学义务;而又因为他名义上还是大学教授,他不需要负担CNRS雇员的义务。自此之后,他就越来越少踏足大学,直到四年后的1988年他正式退休。

在晚年,他的心灵在混乱中挣扎不休。在1990年,他将一些数学论文、通讯和手稿转赠给了他的学生Malgoire,与此同时,他烧毁了大部分的与数学无关的手稿,总共大概二万五千页,全部付诸一炬。因此,我们现在无法得知他童年的具体经历。他逐渐切断了与数学界的联系,躲进了比利牛斯山脉脚下的某个小村庄,过着隐居避世的生活。而他在远阿贝尔几何上,没有什么进展。

最后,在2014年11月13日,他永远切断了与这个世界的联系。

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比利牛斯山脉,图片来自Wikipedia

在《一个规划的大纲》里,格罗滕迪克提出,要通过研究儿童涂鸦来研究远阿贝尔几何。但对儿童涂鸦的研究并没有预期的那么成功。有许多数学家被《一个规划的大纲》中的深邃视野所吸引,投身于儿童涂鸦的研究中,也取得了一些成果,但远远不足以达成原来的目标。

这也不是格罗滕迪克的研究计划第一次遭受挫折。早在他的黄金年代——上世纪60年代——他就曾提出一系列被称为“标准猜想”(standard conjectures)的猜测,实际上猜测所谓的“代数簇”背后存在某些非常深层次的算术结构。一但标准猜想被证明,许多代数数论中的猜想,例如著名的韦伊猜想(Weil’s conjectures),就能被轻松证明。实际上这也是格罗滕迪克提出标准猜想的目的。他的学生德利涅在1973年最终证明了最后一个韦尔猜想,但并没有取道标准猜想。德利涅想到了一个办法绕过标准猜想,使用一个更为“经典”的技巧完成了证明。而时至今天,标准猜想仍然悬而未决,也没有任何人能看到解决的曙光。

尽管与计划有所出入,远阿贝尔几何本身仍然取得了长足的进展。日本数学家望月新一在1996年证明了《一个规划的大纲》中格罗滕迪克提出的一个远阿贝尔几何的猜想的特殊情况,很快就闻名于数学界,还被邀请在1998年的国际数学家大会上作一小时演讲,这在数学界是一项殊荣。在积蓄了一段时间的力量后,在2012年,望月新一在他的个人主页上挂出了四篇文章,宣布解决了数论中一个悬而未决的重要猜想——ABC猜想[link]。而他所用的工具,正是远阿贝尔几何,但又不单是远阿贝尔几何。

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望月新一,图片来自他的学术主页http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/top-english.html

望月新一在他的四篇文章中,基于他对远阿贝尔几何的研究,提出了一套全新的理论:宇宙际Teichmüller几何(inter-universal Teichmüller geometry)。还记得格罗滕迪克的Teichmüller层级吗?望月新一的这个理论,大概就是说,考虑单一的Teichmüller层级还不够,需要利用某种方法,引入不同的“变体Teichmüller空间”(更准确地说,是“p进制Teichmüller空间”的变形),再去考虑它们以及它们之间的关系,才能更好地理解整个结构。当然,实际的情况没有听起来那么简单,要定义这些数学对象,甚至要对“乘法”这样基础的数学概念进行“变形”。为了研究这些结构,望月新一还发展了许多工具,填满了四篇文章,加起来超过500页。

在发展这套理论时,望月新一的风格与格罗滕迪克如出一辙:将问题慢慢溶解在抽象的结构中,直到解决方法变得水到渠成。这也使他的论文格外难以理解,因为要理解他对ABC猜想的证明,就要先理解他的宇宙际Teichmüller几何,而这套理论正如其名,就像是用外星语言写就,高度抽象,根本难以入手。据说除了望月新一本人以外,目前世界上只有四名数学家看懂了证明。我们仍不知道望月新一的证明到底是对是错,但在讨论对错之前,他在远阿贝尔几何上发展的这套新理论,无疑值得赞叹。

至于儿童涂鸦,虽然它对于远阿贝尔几何研究的贡献不大,但在其他领域它却大显神通。

我们回顾一下别雷定理:每个儿童涂鸦唯一对应着一个光滑代数曲线。这是一个存在性定理:它只告诉我们对应的光滑代数曲线是存在的,但却没有具体的计算方法。许多需要具体例子的数学家对于这种“管杀不管埋”的定理颇有微词,于是他们开发出了一些具体的计算方法。这些方法现在还不能处理规模太大的儿童涂鸦,但对于许多数学家需要的例子来说绰绰有余。有了具体的计算方法,数学家就能将儿童涂鸦用于更多的数论问题上,尤其是那些与多项式相关的问题。

儿童涂鸦的另一个名字是二部地图。早在格罗滕迪克给它赋予儿童涂鸦这个名字之前,组合学家早就开始了对二部地图,以及更一般的组合地图的研究。二部地图可以推广到所谓的“星座地图”(constellation),它们对应拥有更多分支点的球面覆盖(详见参考文献中S. Lando和A. Zvonkine的著作)。对这些星座地图的研究牵涉到组合表示论、矩阵积分和弦论等高深的数学和物理分支。

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星座地图,图片由方弦制作

组合学家对于枚举二部地图(更严格地说是所谓的“有根二部地图”)也颇有兴趣,不论是球面上的二部地图,还是任意曲面上的二部地图。每个曲面都有一个叫做“亏格”(genus)的参数。球面的亏格是0,环面的亏格是1,然后每往曲面上多加一个“把柄”,曲面的亏格就多加1。亏格越高的曲面,它上面的二部地图当然也越复杂。在矩阵积分的研究过程中,两位物理学家B. Eynard和N. Orantin发展了一套被称为“拓扑递归”(topological recursion)的方法,他们又发现,这套方法似乎也能用于与矩阵积分息息相关的二部地图的枚举,而且适用于任意亏格曲面上的二部地图。俄罗斯数学家M. Kazarian和P. Zograf首先将这套方法用到了儿童涂鸦的枚举上。后来,法国数学家G. Chapuy以及他的学生通过借用拓扑递归方法中的某些套路,证明了对于某个亏格大于1的曲面,它上面的二部地图的生成函数都能表达成一些简单函数的分式。值得一提的是,在拓扑递归方法中,最重要的一步就是计算亏格为0以及亏格为1的情况的生成函数,之后更高亏格的情况都能由这两种情况计算出来。这与格罗滕迪克对于整个Teichmüller层级能由最底两层产生的想法不谋而合。

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亏格为2的二部地图,由方弦制作

这就是数学的美妙之处:每个领域与别的领域之间都有着千丝万缕的联系,也许换一个视角问题就会变得深邃而重要,再换一个视角,问题又会变得无比简单。

峰回路转,柳暗花明;失之东隅,收之桑榆。这就是数学。

后记

这是一篇纪念性的文章,试验性质非常重。读到这里的读者,非常感谢你们容忍我的任性,以及所有这些不明觉厉的数学术语。这篇文章讲到的数学既简单又复杂,如果我感受到的数学之美能够向你们传递到一点点的话,我就很满足了。

我对代数几何并不熟悉。在本文写作的过程中,不愿透露姓名的金先生和欧先生给了我很大的帮助。因为他们的研究领域与代数几何相关,所以我曾多次请教他们相关的问题,而他们也很耐心地向我解释了别雷定理以及格罗滕迪克的工作,在这里要再次谢谢他们。当然,如果文章中仍然存在疏漏,那仍然是我个人才疏学浅的责任。

这篇文章的灵感来自Alexandre Zvonkine在波尔多的演讲《Weighted trees》。他是我所在的研究团队的一员,大家都叫他的爱称Sacha,而他今年就要退休了,所以整个团队为他办了一场送别活动,请到了他的合作者和家属讲述他的工作和生活,《Weighted trees》就是他在送别活动上作的演讲。他高水平的演讲生动地说明了儿童涂鸦和别雷定理结合之后可以产生许多有趣的结果。这篇文章就是受他演讲的启发而写的,也用到了他幻灯片中的不少例子。我到波尔多时间不长,但也感受到他的友好。他听说我要写这么一篇文章之后,立刻问我有什么他能帮忙的,之后还关心文章什么时候写好,尽管他看不懂中文。很惭愧,跟他的演讲相比,我只做了一点微小的工作,而且还拖延了这么久。尽管有点迟,这篇文章就作为他退休之际,我送上的一点薄礼吧!

Merci beaucoup Sacha ! Bonne retraite !

小朋友的涂鸦(四):一个规划的大纲

Alexandre Zvonkine,图片来自他的学术主页https://www.labri.fr/perso/zvonkin/

[pic: Alexandre Zvonkine]

参考文献

Alexandre Zvonkine. Weighted trees , Journées Combinatoires de Bordeaux, 2016

Sergey Lando and Alexander Zvonkin. Graphs on surfaces and their applications, volume 141 of Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Springer-Verlag, 2004.

Alexandre Grothendieck. Esquisse d’un programme , 1984

Allyn Jackson. Comme Appelé du Néant —— As If Summoned from the Void: The Life of Alexandre Grothendieck, Notices of the AMS, Volume 51, Number 9 and 10, 2004,
http://www.ams.org/notices/200409/fea-grothendieck-part1.pdf
http://www.ams.org/notices/200410/fea-grothendieck-part2.pdf

Wenjie Fang. Aspects énumératifs et bijectifs des cartes combinatoires : généralisation, unification et application, PhD Thesis, 2016.

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